مراجعة ليلة الامتحان للجبر

تعريف المصفوفة

المصفوفة هي جدولة لمجموعة من العناصر على هيئة صفوف وأعمدة وتوضع داخل قوسين من النوع أو ويحدد عدد الصفوف وعدد الأعمدة أبعاد المصفوفة أو نظمها

فإذا كان عدد الصفوف يساوي م ، وعدد الأعمدة يساوي ن قيل أن المصفوفة على النظم م × ن حيث م ، ن ص⁺

مدور المصفوفة

لأي مصفوفة أ على النظم م×ن إذا استبدلنا الصفوف بالأعمدة أو الأعمدة بالصفوف بنفس ترتيبها فإننا نحصل على مصفوفة على النظم ن×م تسمى بمدور المصفوفة أ ويرمز لها بالرمز أ ^مد

ملحوظة : (أ ^مد) ^مد = أ

تساوي مصفوفتين

تتساوى مصفوفتان أ ، ب إذا توفرالشرظان معا :

(1) لهما نفس النظم م × ن

(2) كل عنصر في المصفوفة أ مساويا نظيره في المصفوفة ب

أولا : جمع المصفوفات

إذا كانت أ ، ب مصفوفتين لهما نفس النظم فإن عملية الجمع تكون ممكنة ويكون ناتج الجمع عبارة عن مصفوفة لها نفس النظم وكل عنصر فيها ناتج من جمع العنصرين المتناظرين .

أي إذا كانت أ ، ب مصفوفتين على النظم م × ن فإن مجموعهما أ + ب هي مصفوفة ج لها نفس النظم م× ن

ملاحظة : مما سبق يمكن استنتاج أن :

(أ + ب) ^مد = أ ^مد + ب ^مد

ضرب المصفوفات في عدد حقيقي

إذا كانت المصفوفة أ على النظم م × ن فإن حاصل ضرب أي عدد حقيقي ك في المصفوفة أ هي المصفوفة ك أ من النظم م × ن ونحصل على المصفوفة ج = ك أ بضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة أ في العدد الحقيقي ك

خواص عملية الجمع

نفرض أن أ ، ب ، ج ثلاث مصفوفات على النظم م × ن وأن مصفوفة صفرية من نفس النظم فإنه

1. خاصية الانغلاق :

أ + ب مصفوفة من نفس النظم

2. خاصية الابدال : أ + ب = ب + أ

3. خاصية الدمج ( التجميع ) :

(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)

4. خاصية المحايد الجمعي :

أ + = + أ = أ

5. خاصية النظير (المعكوس) الجمعي :

أ + ( - أ) = ( - أ) + أ =

ثانيا : طرح المصفوفات

إذا كانت أ ، ب مصفوفتان على النظم م × ن فإن

أ – ب = أ + ( - ب ) حيث

(- ب) هو المعكوس الجمعي للمصفوفة ب

ثالثا : ضرب المصفوفات

بفرض أن : أ مصفوفة على النظم م × ل & ب مصفوفة على النظم ك × ن فإن الشرط اللازم لكي يكون حاصل الضرب أ × ب معرفا هو ل = ك وفي هذه الحالة تكون المصفوفة أ ب على النظم م × ن

مصفوفة الوحدة I : هي مصفوفة مربعة جميع عناصر قطرها الرئيسي يساوي العدد الحقيقي (1) وباقي عناصرها تساوي العدد الحقيقي (0) ، ويرمزلها بالرمز I .

خواص عملية ضرب المصفوفات :

أولا : خاصية الدمج : (أ ب) ج = أ (ب ج) ثانيا : خاصية المحايد الضربي : أ I = I أ = أ ثالثا : خاصية توزيع ضرب المصفوفات على الجمع أ ( ب + ج ) = أ ب + أ ج ( أ + ب ) ج = أ ج + ب ج

مدور حاصل ضرب مصفوفتين : ( أ ب )^مد = ب ^مد أ ^مد

الفصل الثاني : البرمجة الخطية

أولا : خواص التباين في ح بفرض أن أ ، ب ، جـ ح فإن

· إذا كان أ ≥ ب فإن : أ + جـ ≥ ب + جـ

· أ جـ ≥ ب جـ إذا كانت جـ > 0

· أ جـ ≤ ب جـ إذا كانت جـ < 0

· إذا كان أ ≤ ب فإن : أ + جـ ≤ ب + جـ

· أ جـ ≤ ب جـ إذا كانت جـ > 0

· أ جـ ≥ ب جـ إذا كانت جـ < 0

أي أن : عند الضرب في (أو القسمة على) عدد سالب يتغير اتجاه علامة التباين

الزاوية الموجهة

الزاوية الموجهة : تعرف الزاوية الموجهة بأنها زوج مرتب من شعاعين هما ضلعا الزاوية لهما نقطة بداية واحدة هي رأس الزاوية

الوضع القياسي للزاوية الموجهة : تكون الزاوية الموجهة في وضع قياسي إذا تحقق الشرطان التاليان معا :

1) رأسها هو نقطة الأصل

2) ضلعها الابتدائي ينطبق على الاتجاه الموجب لمحور السينات

وحدات قياس الزاوية

القياس (التقدير) الدائري
وحدة القياس : راديان

القياس (التقدير) الستيني
وحدة القياس : الدرجة

أولا : القياس الستيني

الدائرة تنقسم إلى 360 قسم كل قسم يسمى درجة وتقاس الزاوية المركزية بعدد الأقسام المحصورة بين ضلعيها حيث قياس الزاوية المركزية = قياس القوس المقابل لها كل 1 ْ = 60 َدقيقة ، 1 َ = 60 ً ثانية

الزاوية النصف قطرية : هي زاوية مركزية في الدائرة التي تحصر قوسا طوله يساوي طول نصف قطر الدائرة

العلاقة بين القياس الستيني والقياس الدائري

ل = ن ق هـ ^ء =

الدوال المثلثية – دائرة الوحدة

لنفرض أن الزاوية الموجهة (أ و ب) في وضعها القياسي ،

ب(س ، ص) دائرة الوحدة

معادلة دائرة الوحدة س² + ص² = 1

(س ، ص)

ب

أ

و

هـ

س

ص

جـ

جـ َ

أ َ

(1 ، 0)

(- 1 ، 0)

(0 ، 1)

(0 ، - 1)

ء

س

ص

1

الدوال المثلثية للزاوية هـ

جتا هـ = س ، جا هـ = ص ، ظا هـ = ، قا هـ = ، قتا هـ = ، ظتا هـ =

ملحوظة :

مجموعة الزوايا المتكافئة لها نفس الدوال المثلثية

في دائرة الوحدة : جا(هـ + 2ن ط) = جا هـ = ص ، جتا(هـ + 2ن ط) = جتا هـ = س

ظا(هـ + 2ن ط) = ظا هـ = ، حيث ن ص ، س ≠ 0

اشارات الدوال المثلثية

جا

قتا

كل

الدوال

ظا

ظتا

جتا

قا

+

الأول

هـ

الثاني

180 – هـ

90

270

180

0

360

الرابع

360 - هـ

الثالث

180 + هـ

الدوال المثلثية لبعض الزاويا الخاصة

هـ	ب	جتاهـ	جاهـ	ظاهـ
0 ْ أ، 360 ْ	(1 ، 0)	1	0	0
90 ْ	(0 ، 1)	0	1	غير معرف
180	(- 1 ، 0)	- 1	0	0
270	(0 ، - 1)	0	- 1	غير معرف
30 ْ ْ	(، )
60 ْ ْ	(، )
45 ْ	( ، )			1

بعض الخواص للدوال المثلثية

· أولا : الدوال المثلثية للزاويتين المتتامتين اللتين قياسيهما

هـ ، ( 90 ْ – هـ ) "الربع الأول"

جا ( 90 ْ – هـ ) = جتا هـ ، قتا ( 90 ْ – هـ ) = قا هـ

جتا ( 90 ْ – هـ ) = جا هـ ، قا ( 90 ْ – هـ ) = قتا هـ

ظا ( 90 ْ – هـ ) = ظتا هـ ، ظتا ( 90 ْ – هـ ) = ظا هـ

· ثانيا : الدوال المثلثية للزاويتين اللتين قياسيهما

هـ ، - هـ " الربع الرابع"

جا (– هـ ) = - جا هـ ، قتا (– هـ ) = - قتا هـ

جتا (– هـ ) = + جتا هـ ، قا (– هـ ) = + قا هـ

ظا (– هـ ) = - ظا هـ ، ظتا (– هـ ) = - ظتا هـ

· ثالثا : الدوال المثلثية للزاويتين المتكاملتين اللتين قياسيهماهـ ، ( 180 ْ – هـ ) " الربع الثاني"

جا(180 ْ– هـ ) = + جا هـ ، قتا(180 ْ– هـ )= + قتا هـ

جتا(180 ْ– هـ ) = - جتا هـ ، قا(180 ْ– هـ ) = - قا هـ

ظ (180 ْ– هـ ) = - ظا هـ ، ظتا(180 ْ– هـ) = - ظتا هـ

· رابعا : الدوال المثلثية للزاويتين اللتين قياسيهما

هـ ، ( 180 ْ + هـ ) " الربع الثالث"

جا(180 ْ+ هـ ) = - جا هـ ، قتا(180 ْ+ هـ ) = - قتا هـ

جتا(180 ْ+ هـ ) = - جتا هـ ، قا(180 ْ+ هـ ) = - قا هـ

ظا(180 ْ+ هـ ) = + ظا هـ ، ظتا(180 ْ+ هـ ) = + ظتاهـ

· خامسا: الدوال المثلثية للزاويتين اللتين قياسيهما

هـ ، ( 360 ْ - هـ ) " الربع الرابع"

جا(360 ْ– هـ ) = - جا هـ ، قتا(360 – هـ ) = - قتا هـ

جتا(360 – هـ ) = + جتا هـ ، قا(360 – هـ ) = + قا هـ

ظا(360 – هـ ) = - ظا هـ ، ظتا(360 – هـ ) = - ظتاهـ

· سادسا : الدوال المثلثية للزاويتين اللتين قياسيهما

هـ ، ( 90 ْ + هـ ) " الربع الثاني"

جا( 90 ْ + هـ ) = + جتا هـ ، قتا( 90 ْ + هـ ) = + قا هـ

جتا( 90 ْ + هـ ) = - جا هـ ، قا( 90 ْ + هـ ) =- قتا هـ

ظا( 90 ْ + هـ ) = - ظتا هـ ، ظتا( 90 ْ + هـ ) = - ظاهـ

· سابعا : الدوال المثلثية للزاويتين اللتين قياسيهما

هـ ،(270 ْ- هـ ) " الربع الثالث"

جا(270– هـ ) =- جتاهـ ، قتا(270– هـ ) = - قاهـ

جتا(270– هـ ) = - جاهـ ، قا(270– هـ ) = - قتاهـ

ظا(270– هـ ) = + ظتاهـ ، ظتا(270– هـ ) = + ظاهـ

· ثامنا : الدوال المثلثية للزاويتين اللتين قياسيهما

هـ ، (270 ْ+ هـ) "ا الربع لرابع"

جا (270+ هـ ) = - جتا هـ ، قتا (270+ هـ ) = - قا هـ

جتا (270+ هـ ) = + جا هـ ، قا (270+ هـ ) = + قتا هـ

ظا(270+ هـ ) = - ظتا هـ ، ظتا(270+ هـ ) =- ظا هـ

الدوال المثلثية للزاوية الحادة

جا هـ = ، جتا هـ = ، ظا هـ =

ملجوظة : - 1≤ جا هـ ≤ 1 ، - 1≤ جتا هـ ≤1

» علامات ليلة القدر
» ليلة دخول العادلي وعز سجن طرة
» ليلة امين الدشناوي بالعربي بالكلح
» مراجعة علي قصة عقبة بن نافع
» مراجعة قواعدالانجليزي ترم تاني 2011

بوابة الثانوية العامة

روابط الجامعات المصرية

نتائج الامتحانات :ابتدائي-اعدادي-ثانوي

مواقع رياضية مصرية وعر بية وعالمية

مراجعة ليلة الامتحان للجبر